Fritz Unger startete 2012 seine Karriere im Präsidium des Bayerischen Turnspiel-Verbandes (BTSV) als Vizepräsident für Sport und übte dieses Amt bis 2020 aus. Im Jahr 2019 teilte er sich das Amt des Präsidenten stellvertretend mit Arnold Peterson. Seit 2020 ist Fritz Unger der Präsident des Bayerischen Turnspiel-Verbandes. Außerdem ist er das Amt des Datenschutzbeauftragten des Verbandes übernommen.

Er ist nicht nur im BTSV aktiv, sondern auch bei Faustball Deutschland (früher Deutsche Faustball-Liga). Dort ist er ebenfalls Datenschutzbeauftragter und hält zudem das Amt als Vizepräsident Spielbetriebsystem inne. Auf Landesebene engagiert sich Fritz Unger in vielen Fausballligen als Staffelleiter und besetzt als Landesfachpressewart und Landesfachkassenwart noch mehr Positionen im Fachgebiet Faustball.

Der Deutsche Turner-Bund gratuliert Fritz Unger ganz herzlich.